408 Sophus Lie. 



dy ^ dæ dyJ dæ A' / ? 



so sagen dieselben nur aus, dass die Gruppe zwei Ourvenschaa- 

 den f{æ y) ■= Const., f-^ = Const, invariant lässt, diejenigen näm- 

 lich, die durch 



dy dæ ^ dy ^ dx 



bestimmt werden. 



Finden sich unter den Gleichungen {Ä) eine von der Form 

 (À) und eine oder zwei von der Form {v), und sonst keine 

 Gleichung erster Ordnung, so folgt ebenfalls aus dem Vorange- 

 henden, dass jede Gleichung der Form (r) eine bei der Gruppe 

 invariante Curvenschaar liefert. 



In entsprechender Weise könnte man jetzt weiter gehen 

 und alle möglichen Fälle, in denen keine Gleichung nullter 

 Ordnung auftritt, erschöpfend discuttiren. Man würde immer 

 finden, dass jede Gleichung der Form {v) eine selbständige bei 

 der Gruppe invariante Curvenschaar liefert. Wir können uns 

 indess diese Rechnungen ersparen. Wir werden nämlich so- 

 gleich alle Gruppen der Reihe nach in canonischer Form be- 

 trachten und ihre Definitionsgleichungen aufstellen; gleich- 

 zeitig lässt sich leicht für jeden einzelnen Fall die Richtigkeit 

 unseres Satzes verificiren. Wir können daher denselben als 

 allgemein wahr betrachten. Wir bezeichnen im Folgenden 

 die Anzahl von Relationen der Form (r) mit (r); und eben- 

 falls die Anzahl von den Relationen der Form (A) mit (A). 



15. In dieser Nummer betrachten wir der Reihe nach 

 alle Gruppen mit zwei und nur zwei invarianten Curven- 

 schaaren /(a? y) = Const., und stellen ihre Definitionsgleichun- 



