410 [Sophus Lie. 



^ Die Gruppe p, q, yq, xp wird definirt durch die Gleichungen 



dy ' dx ' (^x2 "' dy2 ^ 

 sodass ihre charakteristischen Zahlen die folgenden sind 

 ..1=2; /?2=4, r,=2, (y) = 2, (A) = 



Die Gruppe q, yq, y^q, p, xp wird definirt durch die Rela- 

 tionen 



<^y ' dx ' tZx^ ' dy"^ 



und besitzt daher die folgenden charakteristischen Zahlen 

 «1 = 2, ^2 = 4, r2 = 1, ^3 = 7, :r3 = i, M -2, (A) = 

 Endlich die Gruppe q, yq, y^q, p, xp, x^p wird definirt 



durch die Relationen 



dy ~ ' dx ' dx^ ^' dy^ ^' 

 und daher haben ihre charakteristischen Zahlen die Werthe 



^,=2; /3.3=4, y^ = 0, ß, = 6, r,=2; (r) = 2, (À)=0. 



Man sieht, dass die Zahl (v) wirklich wie früher behaup- 

 tet, immer gleich 2 ist. Man erkennt ferner unmittelbar, dass 

 die aufgestellten charakteristischen Zahlen nie für zwei unter 

 den aufgestellten Gruppen dieselben Werthe haben. 



16. In dieser Nummer betrachten wir in canonischer 

 Form alle Gruppen mit mehr als zwei invarianten Curven- 

 schaaren f{co y) = Const, und stellen ihre charakteristischen 

 Definitionsgleichungen (A) auf. Dabei sehen wir auch jetzt 

 von dem Falle weg, dass die Relationen (A) eine Gleichung 

 nullter Ordnung enthalten. 



Die Gruppe q, p + cyq wird definirt durch die Glei- 

 chungen 



