Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 411 



und besitzt somit die charakteristischen Zahlen 



«1 = 4, (V) = OD, (À) = 1 



Die Gruppe p, q, xp + yq wird definirt durch die Glei- 

 chungen 



^ = 0-^ = ^ — ^ = 

 dy ' dx ' dx dj 



Daher ist 



a^ = 3; /?2 = 6, {v) = oo, À = 



Mehrere hierher gehörige Gruppen giebt es nicht, und 

 daher liefern unsere Zahlen die hinreichenden Merkmale. 



17. Weitläufiger wird die Discussion von allen Gruppen, 

 die eine und nur eine invariante Curvenschaar /(a? 2/) = Const, 

 bestimmen. Wir werden dieselben der Reihe nach betrach- 

 ten, indem wir jedoch von den Fällen, in denen eine Defini- 

 tionsgleichung nullter Ordnung auftritt, wegsehen. 



Unter den r infinitesimalen Transformationen der Gruppe, 

 welche sämmtlich die Curvenschaar /= Const, invariant las- 

 sen, giebt es einige und zwar jedenfalls r — 3, welche eine 

 jede Curve der Schaar /= O invariant lassen. Ist 



dy doß 



die Differentialgleichung der Curven/= O, die immer aufge- 

 stellt werden kann, so haben die s soeben besprochenen aus- 

 gezeichneten Transformationen die Form 



Kl-"!)'«'^ 



Setzt man in den vorgelegten Definitionsgleichungen der ge- 

 suchten Gruppe 



