412 Sophus Lie. 



SO erhält man die Definitionsgleichungen der Gruppe 0/, 

 unter denen sich immer eine von nullter Ordnung findet. Es 

 ist daher immer möglich und zwar nach den Regeln des Para- 

 graphen 5 zu entscheiden, ob die Gruppe 0/ die cano- 

 nische Form X^q . . . JTsq oder die Form ^Y^q . . . ^s-iq yq 

 besitzt. Gleichzeitig findet man die Zahl s. 



Ist s°r-l, so hat die Gruppe entweder die canonische 

 Form ^iq . . . ^r-iq p {r > 2) oder die Form JT^q . . . ^^-gq 

 yqp (r>3). Welcher unter diesen beiden Fällen vorliegt, 

 wird entschieden, indem man die Gruppe Cf in der soeben 

 angegebenen Weise discuttirt. 



Ist s=-r-2, so hat die Gruppe entweder die canonische 

 Form q xq . . . x'-^q, p, xp + (cj + kx''-'^)q oder die Form 

 q xq . . . x'^^^q, yq, p, xp. Welcher unter diesen beiden Fällen 

 vorliegt, entscheidet man durch Aufstellung von den Defini- 

 tionsgleichungen der Gruppe Cf und Discussion derselben. 

 Ist im ersten Falle die Constante c verschieden von r -2, so 

 kann k bekanntlich gleich Null gesetzt werden ; ist c = r - 2, 

 so kann k entweder gleich Null oder gleich 1 gesetzt wer- 

 den; wir gehen indess erst später auf die Bestimmung der 

 Constanten c und k ein. 



Ist s = y-3, so sind vier Fälle möglich, Ist y = 3, und 

 also 5 = 0, so hat die Gruppe die canonisehe Form 



p, xp + yq, x^p + 2xyq. 



Ist r = 4, und also s=l, so hat die Gruppe die canonische 

 Form 



yq, p, xp, x^p + xyq 



Ist r > 4, so hat die Gruppe die eine unter den beiden cano- 

 nischen Formen 



q xq . . . x'— ^q p 2xp + (r - 4) yq, x^p + (r - 4) xyq 



q xq . . . x^-5q, yq, p, xp, x^p + {r-b) xyq {r > 5) 



Diese beiden Fällen lassen sich scheiden durch Aufstel- 



