Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 413 



lung von den Definitionsgleichungen der Gruppe Cf und 

 Discussion derselben. 



In allen diesen Fällen verificirt man durch Aufstellung 

 von den betreffenden Definitionsgleichungen, dass es jedesmal 

 nur eine Gleichung der Form {y) giebt, nämlich die Relation 



^ = 0. 

 dy 



Lässt eine Gruppe keine Curvenschaar f=C invariant, 

 so ist ihre canonische Form eine lineare Gruppe mit 5, 6 

 oder 8 Parametern. Die Definitionsgleichungen einer sol- 

 chen Gruppe enthalten keine Gleichung erster Ordnung der 

 Form (v). 



Findet man daher unter den charakteristischen Defini- 

 tionsgleichungen einer unbekannten Gruppe eine und nur eine 

 Gleichung erster Ordnung von der Form (r) nämlich 



^ _ (^ _ ^^ _ 2^. E-\- ß =0 

 dy \dûs dyJ dæ 



so ist es sicher, dass die Gruppe eine und nur eine Curven- 

 schaar f{x y) = Const, invariant lässt, und dabei ist / bestimmt 

 durch 



dy dx 



Daher ist es immer möglich die Definitionsgleichungeu der 

 früher besprochenen infinitesimalen Transformationen 



c/=^(; 



df ^^ df 



V 



dy doo 



aufzustellen. Hiermit kennt man dann die beiden Zahlen r 

 und s. Unterwirft man sodann die Gruppe Cf wenn noth- 

 wendig eine einfache Discussion nach den früher angegebenen 

 Regeln, so findet man diejenige canonische Form, auf welche 

 unsere Gruppe reductibel ist. 



