Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten, 415 



Jk(x j x'j'...) = Bk{æ y), 



deren rechte Seiten bekannte Funktionen von ocy sind, wäh- 

 rend die linken Seiten Differentialinvarianten einer früher 

 (n. 7) definirten Gruppe D/ darstellen. Die Integration der 

 Gleichungen Jk = jBk reducirt sich, wie schon früher angekün- 

 digt, auf die Erledigung von gewissen linearen Htilfsgleich- 

 ungen zwischen zwei Variabein. Ist diese Integration gelei- 

 stet, so führt man die gefundenen Werthe von x y in die 

 gegebene canonische Gruppe ein und erhält hierdurch den 

 Ausdruck der gesuchten Gruppe in den Variabein æy. 



In diesem Paragraphen werden wir diese Theorie suc- 

 cessiv- für alle Gruppen mit zwei und nur zwei invarianten 

 Schaaren f{æ y) = Const, in Detail durchführen. 



19. Die canonische Gruppe 



p q yq (b/) 



"wird bestimmt durch die Definitionsgleichungen 



^ = 0^-0 ^=0^ = 

 dj ^ dx ' dx ' dy^ 



Die Gruppe D/ wird andererseits definirt durch die Kela- 

 tionen 



(p, D/) = (p, Xp + Yq) = Zp + mq + wyq 



(q, Xp + Yq) = ?iP+miq + njyq 



(yq, Xip + Yq)-l^p + m^q + n^jq, 



aus denen die folgenden hervorgehen 



dX. __ , dK j dK 

 di~^' dy° ^' '^'dj 



dY dY dY ^^ 



^ = m + riy, ^- = m^ + ^^y, y — — Y = m^ + n^j 



sodass 



X = Zx + A, Y = m^j + jtf 



