Differentialgleichuugen, die eine Gruppe gestatten. 419 



a(È)-^'^^*^^^^^''^- 



Kdy 



Durch Elimination von \^ \^ und L erhält man daher drei 

 Relationen zur Bestimmung von x y als Funktionen von x 

 und y. 



Weitere Relationen erhält man, indem man die Grösse 



-t4 durch Einführung von æ und y als unabhängige Variabein 



«y 



wirklich berechnet und darnach verlangt, dass die hervorge- 

 hende Relation mit einer Gleichung des Systems {A) identisch 

 sein soll. 



Die hiermit im Wesentlichen geleistete Bestimmung un- 

 serer unbekannten Gruppe kann übrigens auch in anderer 

 Weise ausgeführt werden, wie jetzt angegeben werden soll. 

 Wir setzen wie soeben voraus, dass wir die beiden in dem 

 Systeme {A) enthaltenen Gleichungen der Form {v) wirklich 

 gebildet haben. Sodann bemerken wir, dass unsere unbe- 

 kannte Gruppe infinitesimale Transformationen von den 

 Formen 



(df df\ (df df\ 



"P-^dTy-^^^Tj^ 'P^ydy-'^'d-J 



enthält, und zwar eine (p) von der einen Form und zwei 

 (q yq) von der zweiten Form. Setzen wir daher in den Rela- 

 tionen (Ä) einmal 



g- — Vi <p^, i7 = <Pi 



ein andermal 



so erhält man gewisse lineare Relationen zur Bestimmung von 

 «Pi und ^2 ^^s Funktionen von æ und y. Und dabei ist klar, 

 dass die Differentialquotienten von log cp^ oder von log ep^ 

 hinsichtlich w und y, lass uns sagen die Differentialquotienten 



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