426 Sophus Lie. 



dw -, 1 „ 



Nach der Integration unserer Riccatisehen Gleichung erster 

 Ordnung, kennen wir somit eine jede unter den drei Grössen 



y" y y y y + i 



als Funktion von æ. Und da 



u — w 



V — w 



ist, so finden wir hierdurch y als Funktion von æ. Der 

 gefundene Ausdruck enthält als Integrationsconstanten drei 

 arbiträre Funktionen von y. 



In ganz entsprechenden Weise fände man y als Funk- 

 tion von y durch Integration einer Riccatisehen Gleichung 

 1. 0. Und nach bekannten Theorien (Note I) reducirt sich 

 die Erledigung von unseren beiden Riccatisehen Gleichungen 

 1. 0. auf die Integration einer einzigen derartigen Gleichung. 



Hiermit ist also y gefunden. Versucht man auch x zu 

 bestimmen, so erkennt man leicht, dass hierzu die Integration 

 einer allgemeinen Gleichung 1. 0. erforderlich ist. Dagegen 

 ist es nach der Bestimmung von y möglich die endlichen 

 Ausdrücke der gesuchten Gruppe ohne Integration aufzu- 

 stellen. 



Wir kennen in der That eine Gleichung 



df df 



— — V — = U 

 dy dx 



die von x erfüllt wird. Daher giebt es eine solche Funktion 

 (p von æ und y, dass die Relation 



^dy dx) dy 



besteht. Setzen wir hier/-y, so kommt 



