Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 429 



hinein, so erhalten wir den analytischen Ausdruck der gesuch- 

 ten Gruppe in den Variabein æ und y. 



26. Kennen wir endlich die Definitionsgleichungen einer 

 Gruppe mit der canonischen Form 



p + q, xp + yq, x^p + y^q (B/) 



so suchen wir zunächst die allgemeinste Transformation 



D/=X;> + Yq, 

 die drei Relationen der Form 



(Bi D) = Cii Bi + Ci2 B2 + Cig B3 

 erfüllt. Dies giebt zunächst die Relationen, 



dK dK 

 dx dj 



+ ^- = uji -r t:i2 -a- -^ »^13 



dK dK „ ^ 



X ^ + y ^ = ^2 1 + «2 2 X + 05 3 X + X 



X' ^ + y' ^ = C31 + C32 X + C33 x2 - 2x X 



und aehnliche Relationen zur Bestimmung von Y. Durch 

 Integration derselben nach bekannten Regeln erkennt man 

 leicht, dass D/ die Form 



p + q + Ci (xp + yq) + C.J (x2p + y2q) 



besitzt, sodass die Gruppe D/ mit der Gruppe B/ iden- 

 tisch ist. 



Die Invarianten der Gruppe D/ werden bestimmt durch 

 die Relationen 



df df ^ df ,df df ,df , „ 



T-+^ = 0, x/^ + x'^, + ...+y^ + y' /-: + .. .=-0 

 dx dy dx dx' dy '' dy' 



x^f + 2xx-f~,^...-^y'f-^2yy'^^^... =0 

 dx dx' '' dy '' '' dy' 



so dass 



