430 Sophus Lie, 



X' r x" x' 



i? ^1^ ZT ~ '^ 



(X~y)2' 1 x' X— y 



die einfachsten Invarianten sind. Als neue abhängige Vari- 

 able wählen wir eine Invariante der Untergruppe p + q, 

 xp + yq und zwar die Grösse 



x' 



= u 



X — y 



Dann wird 



-^ = U^ + I^U 4- I 



(jivC 



sodass u als Funktion von æ durch Integration dieser Ricca- 

 tischen Gleichung 1. 0. gefunden wird. Weitere Lösungen 

 dieser Gleichung sind, wie man leicht verificirt, die Grössen 



^ -u^ und ^ ' 



x(x-y) "'l """ (x + l)(x^y) ^'^ 



deren Werthe als Funktionen von x und y daher nach der 

 Integration der besprochenen Gleichung angegeben werden 

 können. Gleichzeitig findet man die Grössen 



y ^ Wi ^^iX^"^ 



X M ' X + 1 w 



und also y und x als Funktionen von x (Sieh Note I)^). 



§8. 



Bestimmung durch Integration von Gruppen mit einer ein- 

 zigen invarianten Curvenschaar f(dß y) «= Const. 



Jetzt integriren wir successiv die Definitionsgleichun- 

 gen von allen Gruppen mit einer einzigen invarianten Cur- 



^) Man kann übrigens u. A. auch folgendermassen verfahren. Man be- 



x'" Sx"'* 

 rechnet zuerst den Werth der Invariante -7- —0:^72" als Funktion von 



X y ; findet sodann x durch Integration einer Riccatischen Gleichung und 

 darnach y algebraisch durch Benutzung von der Invariante i^. 



