Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 431 



venschaar, also solche Gleichungssysteme, die nur eine ein- 

 zige Gleichung der Form (r) enthalten. 



27. Wir werden zuerst annehmen, dass wir die Defiui- 

 tionsgleichungen einer Gruppe mit der canonischen Form 



p, 2xp + yq, x^p + xyq (Bf) 



kennen. Er ist a priori klar, dass die infinitesimalen Trans- 

 formationen D/ die Form 



X(x) p + Y(xy) q 



besitzen müssen. Dabei bestehen Relationen der Form 



X' = «0 + 2aj X + «2 ^^ 



2ä?X' — 2X = &o + 2ôi X + 62 x^ 



sodass X die Form a + a^x + a^x^ besitzt und dabei ohne 

 Beschränkung gleich Null gesetzt werden kann. Daher sind 

 die Constanten Oi h d sämmtlich gleich Null. Die Grösse Y 

 wird bestimmt durch 



^— = 0, 2x^— + W-, Y = 



dx ^ rfx ^ dj 



.dY dY ^ ^ 



x^-v— + xy^ xY = 



dx '' dj 



sodass Y = Const, y wird. Die Gruppe D/ besteht daher aus 

 den vier Transformationen 



p, xp, yq, x^p + xyq {Bf) 



Die Invarianten der Gruppe D/ sind bestimmt durch 



dl ^ .dl dl ,, dl „ 



;^ = 0, X' ^^ + X, j- + X'' ;j-^ + . . . = 



dx dx 'dx, dx" 



dl , dl ' dl r. 



'' dj ^ df ^ dj. 



