Diflerentialgleicliuiigcn, die eine Gruppe gestatten. 435 



an ein einfaches Beispiel zu illustriren beschränken wir uns 

 auf den einfachsten Fall 5 = 1. Verlangt man sodann zunächst 

 Invarianten gegenüber allen Df ausgenommen x-'p + xyq, 

 so findet man u. A. die Grössen 



' — S9 Î — VC % 



Xi ^2 71 — XiJâ 



soU dabei eine Funktion / von B,.^ und a sich gegenüber der 

 ausgeschlossenen infinitesimalen Transformatien x^p + xyq als 

 Invariante verhalten, so ist es erforderlich und hinreichend, 

 dass die Relation 



besteht. Daher ist 



2 :^/+3^/ = o 

 d^^ da 



2^3 71— Xi 73 3x 



X2yi~xiy2 2 Xi 



eine Invariante der Gruppe D/. Also findet man y, nachdem 

 X bestimmt ist, durch Integration einer linearen Gleichung 

 3. 0. mit den beiden Particularlösungen 1 und x, d. h. durch 

 Quadratur. 



Hat s einen allgemeinen Werth, so bestimmt man eben- 

 falls zuerst X durch Integration einer Riccatischen Gleichung 

 1. 0., und darnach y durch Integration einer linearen Gleich- 

 ung (s + 2)*"' Ordnung mit den s + 1 Lösungen 1, x . . . x^ 



31. Kennt man die Definitionsgleichungen einer Gruppe 

 mit der canonischen Form 



q xq . . . x^q, p, 2xp + «yq, x2p + 5 xyq, (B) 



so sieht man leicht, dass die Gruppe D/ ausser der (B) nur 

 noch die infinitesimale Transformation yq enthält. Man ver- 

 fährt daher ganz wie bei der Bestimmung von der Gruppe 

 der vorangehenden Nummer. 



28* 



