436 Sophus Lie. 



32. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer 

 Gruppe mit der canonischen Form 



q xq . . . x^q, p, xp + (cy + kx^ + 1) q 



wobei k wenn c von s + 1 verschieden ist, gleich Null gesetzt 

 werden kann!; ist dagegen c = s+ 1, so kann k gleich 1 oder 

 Null gesetzt werden. 



Ist s = ö, so sind (wenn c^O) 



^ = c^-^ = k^ — ^ = 

 dj ^ dx dy ' dx dx 



die Definitionsgleichungen der canonischen Gruppe. Wir kön- 

 nen daher annehmen, dass c gleich 1, und k von Null ver- 

 schieden und gleich 1 ist, indem sonst zwei Gleichungen der 

 Form (v), und demzufolge zwei invariante Curveuschaaren 

 f{æy) = Const, aufträten. Die Form der canonischen Gruppe 

 wird somit 



q p xp + (y -t- x) q 



Da x= Const, die einzige invariante Curvenschaar liefert, so 

 haben die Transformationen D/ die Form 



X(x)p + Y(xy)q 



und bilden dabei, wie man leicht verificirt, die Gruppe 



q, p, xp + yq, xq 



mit den Invarianten 



X2 X2yi— x^ya 



X 



1 -^1 



Daher findet man zuerst x und darnach y durch Quadratur. 

 Ist s > 0, so giebt es unter den Definitiousgleichungen 

 der canonischen Gruppe nur zwei erster Ordnung, nämlich 



(Ao) 1=0, 4M-«- 



Dementsprechend giebt es unter den Definitionsgleichungen 



