438 Sophus Lie. 



Auch in diesem Falle geschieht daher die Behandlung nach 

 der in Nummer 29 entwickelten Theorie. 



Hat endlich die canonische Gruppe die Form 



q . . . x^q p xp + [(« + l)y + x^ + '^] q 



so enthält die Gruppe D/ ausser der Bf nur noch die Trans- 

 formation x^ + ^q. Wir behandeln diesen Fall etwas näher 

 unter der speciellen Annahme 5=1. 



Die einfachsten Invarianten der Gruppe 



(D) q xq x^q p xp + 2yq 



sind 



X2 y, (xi X3 — 3x,^) - • Xi(xi 73 — 3x^ y,) 



X,' 



Daher findet man zuerst x durch zwei Quadraturen, und dar- 

 nach y durch Integration einer linearen nicht-homogenen 

 Differentialgleichung 3. 0., die ebenfalls durch Quadraturen 

 erledigt wird, indem 1, x und x'^ drei bekannte Particularlös- 

 ungen der entsprechenden homogenen linearen Gleichung 3. 

 darstellen. 



Die Behandlung des allgemeinen Falles gelingt in ganz 

 entsprechender Weise durch eine Anzahl Quadraturen. 



33. Seien jetzt vorgelegt die Definitionsgleichungen einer 

 Gruppe mit der canonischen Form 



(B) Xi(x) q, X,q . . . X,q 



Ist r = 1, so findet man selbstverständlicherweise die be- 

 treffende infinitesimale Transformation durch Quadratur. 



Ist r = 2, so können wir offenbar X;^ = 1, Xg = x setzen, 

 sodass 



(B) q xq 



unsere canonische Form wird. Die entsprechenden infinite- 

 simalen Transformationen D/" sind 



p, xp, x^p + xyq, yq, F(x) q, 



