Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten 439 



WO F eine arbiträre Funktion von x bezeichnet. Unter den 

 Invarianten der Gruppe Df findet sich die Grösse 



Xi 2 Xi^ 



sodass X durch Integration einer Riccatischen Gleichung 1. 0. 

 gefunden wird. Weitere Invarianten sind 



d , , , ., 3 X" 



'r- log (x y, — X, Y — ^ — 



d ^ , , A 3 X„ 



jyIog(x'y,-x,y-)-2 5f. 



Daher findet man nach der Bestimmung von x die Grösse 

 x' y, — X, y' durch Quadratur. Hiernach integrirt man eine 

 Gleichung der Form 



x'j; — x,y'=/(a?2/) 



was nur Quadratur verlangt, indem y = x eine particulare 

 Lösung der reducirten Gleichung x' y, — x, y' = darstellt. 



Ist r > 2, so muss man eine andere Methode benutzen, 

 was darauf beruht, dass die ^k unbekannte Funktionen von 

 x darstellen, unter denen allerdings immer X-^ = 1, X^^ = x 

 gesetzt werden können; dagegen lassen die Werthe der übri- 

 gen X\i sich nicht ohne Integrationen feststellen. 



Unter den vorgelegten Definitionsgleichungen der unbe- 

 kannten Gruppe findet sich eine von nullter Ordnung etwa 



Daher haben die unbekannten infinitesimalen Transforma- 

 tionen in den Variabein æ y die Form 



(p{Äp + Bq), 



wo A und B gegebene Funktionen von æ y sind, während die 

 unbekannte Grösse cp die Form 



q) = C^ q)^ + C^ cp.^ + . . . + Cr cpr 



