444 Sophus Lie. 



Dementsprechend enthalten die Definitionsgleichnngen 

 einer anf die vorgelegte canonische Form reductiblen Gruppe 

 zwei Gleichnugen erster Ordnung (a^) und 3 + 2 Gleichungen 

 zweiter Ordnung (a^). 



Wir bemerken, dass der Inbegriff der Gleichungen (a^) 

 und (a^) eine unendliche Gruppe d. h. eine Gruppe mit 

 unendlich vielen infinitesimalen Transformationen nämlich alle 

 der Form 



Hf) P, F(x)q, F,ix)jq 



bestimmen. Dementsprechend bestimmen auch die Gleichun- 

 gen (a-^) («2) eine aehnliche uendliche Gruppe. 



Wir suchen alle infinitesimale Transformationen d(/), die 

 zu den Transformationen h{f) in solcher Beziehung stehen, 

 dass eine Relation der Form 



b(d (/)) - d(b (/)) = q3 + ^(x) q + çP,(x) yq 



stattfindet. Diese Forderung wird erfüllt von allen Transfor- 

 mationen der Form 



(d/) p, xp, F(x)q, F(x)yq 



deren Inbegriff somit die gesuchte Gruppe d(/) bildet. 



Wir suchen die Grössen x y derart als Funktionen von 

 æy zu bestimmen, dass die beiden Gleichungssysteme (a^ a^) 

 und («^ «2) identisch werden. Hierdurch erhält man wie ge- 

 wöhnlich eine Reihe Relationen der Form 



J(x y x' X, . . . ) = B(æ y) 



wobei die J Invarianten, und zwar beliebige Invarianten der 



Gruppe d(/) darstellen, während die B gegebene Funktionen 



von 00 y bezeichnen. 



x" 

 Eine solche Invariante ist , , woraus folgt, dass x durch 



Quadraturen bestimmt werden kann. Eine andere Invariante 

 ist die Grösse 



