Diflferentialgleichungeu, die eine Gruppe gestatten. 445 



^ x^ y" — y^ x" _ 2 Xj x^ y/ — y^ x/ ^ x^y„ — y^x„ 

 x'2 X' y, — y' X, ~ X' y, — x, y' x' y, - x, y' " 



Denkt man sich nun die soeben gefundene Grösse x schon 

 als æ eingeführt, sodass 



X = i», x' = 1, X, = 



sind, so geht die letzte Invariante über in die Grösse — , 



J, 



deren Werth als Funktion von œy somit ohne Integration 

 angegeben werden kann. Daher erhält man durch zwei Qua- 

 draturen eine Bestimmung von y: 



wobei # und <^j arbiträre Funktionen xon x, dagegen y^ 

 eine bestimmte Funktion von æ und y bezeichnen. 



Führen wir die gefundenen Werthe x y statt æy ein, so 

 nehmen die Definitionsgleichungen {a-^ a.2) nach dem Voran- 

 gehenden die Form 



(^y ' cix ' äx dj ' df- 



wozu noch zur vollständigen Bestimmung der gesuchten Gruppe 

 einige weitere Gleichungen hinzukommen. In den gefundenen 

 Variabein x y haben daher die infinitesimalen Transforma- 

 tionen unserer Gruppe die Form 



cp + (cjy + X(x))q 



wo c und c-^ arbiträre Constante sind, während X eine gewisse 

 lineare Differentialgleichung, deren Form von c und c-^ ab- 

 hängt, erfüllt. Setzen wir vorläufig voraus, dass c und Cj 

 gleich Null sind, so erhalten wir zur Bestimmung von X eine 

 lineare Gleichung r^" Ordnung 



X^) + a,_i X'1-î) + . . . -I- aX= 



die durch eine zweckmässige Substitution der Form 



yi=yi7(x), .r, = X7T(x) 



