448 Sophus Lie. 



p, q, xp, yp, xq, yq. 



Was die weitere Behandlung dieses Falles betrifft, verweisen 

 wir wiederum auf Nnmmer 42. 



§ 10. 



Bestimmung von Gruppen mit keiner invarianten 

 Curvenschaar. 



In diesem Paragraphen denken wir uns, dass die Dis- 

 cussion von den vorgelegten Definitionsgleichungen einer un- 

 bekannten Gruppe zu dem Resultate geführt hat, dass sich 

 keine bei der Gruppe invariante Curvenschaar finden lässt, 

 sodass als die zugehörige canonische Form eine lineare 

 Gruppe mit acht, sechs oder fünf Parametern gewählt werden 

 kann. Wir entwickeln für eine jede unter diesen drei Fällen 

 die einfachste Integrationstheorie von den betreffenden Defi- 

 nitionsgleichungen. 



41. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe 

 mit der canonischen Form 



(B) p, q, xp, yq, xq, yp, x^p + xyq, xyp + y^q, 



so bemerken wir dass die Gruppe (B) in keiner mehr umfas- 

 senden endlichen Gruppe enthalten ist, sodass die Gruppe 

 Df mit der Gruppe B identisch ist. 



Die Gruppe B hat (§ 1) vier Invarianten zweiter Ordnung 

 nämlich, wenn wir 



A = ^'li'.^-l^' B = ^' ^" ~ y' ^ " C = ^' ^' " ^' ^'' 

 " x' y, - y' X, ' X' y, — y' x, ' x' y, — y' x, 



^ _ ^'y"— y' ^" ;. _ ^iil—j> ^" . - ^' y>' ~ y' ^'' 



X' y, — y X, X' y, — y' x, ' x' y, — y' x, 



setzen, die vier Ci^rössen A, a, B + 2(7, b + 2c. Diese vier 

 Grössen können daher als gegebene Funktionen von a?, y be- 



