Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 449 



trachtet werden, sodass die Bestimmung von x y nach den 

 Regeln des ersten Paragraphen durch die Integration einer 

 gewöhnlichen linearen Gleichung 3. 0. geleistet wird. 



Man käme übrigens offenbar zu demselben Resultate durch 

 Betrachtung von solchen Invarianten, die nur DifFerential- 

 quotienten hinsichtlich einer einzigen unabhängigen Variabein 

 enthielten. Die hiermit angedeutete Behandlungsweise ist für 

 gewisse Gesichtspunkte einfacher als die früher entwickelte. 



42. Kennen wir die Definitionsgleichungen einer Gruppe 

 mit der canonischen Form 



q, P; xq, yq» ^v, yp (B) 



so bemerken wir zunächst, dass die Gruppe (B) in keiner 

 Gruppe mit sieben Parametern enthalten ist, und dass die 

 zugehörige Gruppe Df daher mit der Gruppe B/ identisch 

 ist. Die Gruppe D/ hat (§ 1) sechs Invarianten zweiter 

 Ordnung, nämlich die sechs Grössen, die wir in der voran- 

 gehenden Nummer mit A, B, C, a, b, c bezeichnet haben. 

 Zur Bestimmung von x y führen wir als Unbekannte ein 

 die Invariante erster Ordnung der fünfgliedrigen (invarian- 

 ten) Untergruppe 



q. P, xq, yp, xp-yq 



nämlich die Grösse 

 Nun ist 



X' y, — X, y' = I. 



rf log / 



— -j^^- ^c— b, 

 das 



sodass I durch eine Quadratur gefunden wird 



Darnach nehmen wir die (nicht invariante) viergliedrige 



Untergruppe 



q, p, xq, xp — yq 



von unserer fünfgliedrigen Gruppe. Diese viergliedrige 

 Gruppe hat zwei Invarianten erster Ordnung nämlich die 

 soeben bestimmte Grösse / und die Grösse 



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