Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 451 



gehenden Nummer) die Invarianten A, B, C, a, b, c. Daher 

 geschieht die Bestimmung von x und y genau wie in der 

 letzten Nummer durch die Integration einer Riccatischen 

 Gleichung 1. 0. 



Note 1. 



Resume einer bekannten Theorie. 



P. du Bois Reymond machte zuerst die äusserst wich- 

 tige, wenn auch für eine geometrische Auffassung naheliegende 

 Bemerkung, dass die Integration einer unbeschränkt inte- 

 grablen Gleichung 



J[^ doCi + . . . + ^n dXn = 



auf die Integration einer einzigen gewöhnlichen Gleichung 

 erster Ordnung zwischen zwei Variabein 



f{ooyy') = Q 



reducirt werden kann. 



In gleichzeitigen Arbeiten entwickelten sodann A. Mayer 

 und ich Verallgemeinerungen dieser Theorie, unter denen die 

 von mir herrührende die weitestgehende war. Ich gebe im 

 Folgenden ein kurzes Resume von unseren alten Betrach- 

 tungen in der Ausdehnung, wie es für das vollständige Ver- 

 ständniss der vorangehenden Entwickeluugen erforderlich ist. 



Seien x y bestimmt als Funktionen von cvy durch ge- 

 wisse partielle Differentialgleichungen, deren allgemeinsten 

 Lösungen keine arbiträre Funktionen sondern nur arbiträre 

 Constanten enthalten. Wir können annehmen, dass unsere 

 Differentialgleichungen sich in der Umgebung des Werthsy- 

 stems a? = 3/ = regulär verhalten d. h. dass x und y sich 

 in Potenzreihen nach w und ij entwickeln, welche ge- 

 wisse arbiträre Constanten nämlich die Anfangswerthe von 



