454 Sophus Lie. 



gegebene Funktionen der soeben geschriebenen Grössen sind: 



Setze ich sodann 



dæ ax aXm-i ax^ 



df df ^ df 



SO kommt alles darauf hinaus die lineare partielle Differen- 

 tialgleichung Af^Q zu integriren. 



Es ist dabei möglich m + q-\r2 bekannte infinitesimale 

 Transformationen in den Variabein (2) anzugeben, welche 

 Af=0 in sich transformiren. Die Gruppe (1) giebt ja näm- 

 lich durch Differentiation eine Gruppe der Variabein (2), und 

 die infinitesimalen Transformationen dieser neuen Gruppe 



k = >n df '^ — ^. df 



k"0 «Xk k=o ajk 



transformiren Äf=0 in sich. Es bestehen sogar Rela- 

 tionen der einfachen Form 



B,(A(f))-AiB,if)) = 0. 



Dabei giebt es keine lineare Gleichung der Form 



aAf+ß,BJ+ß,B,f+...^0. 



Hiermit ist in der That die Bestimmung von x y zurück- 

 geführt auf die Integration einer Gleichung Af=0 mit 

 m + q + 3 Variabein, und m + q + 2 wesentlichen infinitesima- 

 len Transformationen. 



Die Erledigung dieses reducirten Problems wird nach 

 meinen alten Untersuchungen geleistet durch successive An- 

 wendung des folgenden Fuudamentaltheorems [dessen Ana- 

 logie mit Galois Behandlung der algebrischen Gleichungen 



