Differentialgleichungen, die eine Gruppe gestatten. 457 



Frage hoffe ich bei einer späteren Gelegenheit zurückzukom- 

 men. Die Behandlung derselben beruht auf eine allgemeine 

 Theorie, die ich schon in 1872 ganz beiläufig berührt habe 

 nämlich auf die Theorie der Invarianten einer Gleichung / = 

 gegenüber allen Punkt oder Berührungstransformationen. 



Note 4. 



Anwendung auf algebraische Differentialgleichungen. 



Gestattet ein System von gewöhnlichen oder partiellen 

 Differentialgleichungen jFI = eine continuirliche und endliche 

 Gruppe mit r Parametern, so reducirt sich die Bestimmung 

 dieser Gruppe (d. h. die Auffindung ihrer infinitesimalen 

 Transformationen) jedenfalls auf die Erledigung einer linearen 

 Hülfsgieichung r*"' Ordnung 



d'^u T-T d'^~'^ii 



Sind dabei insbesondere die Gleichungen Fi = algebraisch, 

 so ist auch die Htilfsgleichung algebraisch. In diesem speci- 

 ellen Falle wird daher die Bestimmung der gesuchten Gruppe 

 jedenfalls durch Verknüpfung von meinen Untersuchungen mit 

 Poincare's bekannten glänzenden Entdeckungen geleistet. Hier- 

 mit ist dann jedenfalls die Integration des Gleichungssystems 

 i^i = gefördert. (Gesel. d. W. Christiania 1881 N. 15). 



Im Vorangehenden reducirten wir die betreffende lineare 

 Gleichung auf eine gewisse einfachere lineare Gleichung, die 

 immer auf algebraische Form reductibel ist. Es ist daher 

 naturgemäss zuerst diese einfachste Hülfegleichung vermöge 

 der von Poincare untersuchten Funktionen zu integriren. Ich 



