88 • Sophus Lie. 



S.^V^J^'... ^4 = ]/<<', ■ (7) 



où les ,Vi' et Xi" désignent les points d'intersection entre une 

 telle conique et le plan (6), déterminent le pôle correspondent. 

 Il faut exprimer les quantités ]/xi ocî' par les quantités don- 

 nées «k, y\i et par les quantités variables ySk. Pour cela nous 

 éliminons x^ et œ^ entre les équations (4) (5) et (6) ce qui 

 donne une équation de la forme 



laquelle nous regardons comme une équation du second degré 

 par rapport à |/^?i et 1/^2 • ^^ ^^^^^ manière on trouvera 



où 



O = 72 («'s ßi — ^A ßzf + r;3 {^^ßi — 0C2 ß^)^ 



+ y A («2 ßz — «3 ßlf 

 ^ = Vl («3 ^4 — O^é /^3)'^ + r 3 («4 ßl — ^\ ßef 



+ 7^ («1/^3 — «'3/^1)'- 

 Un raisonnement analogue donne les valeurs de ]/ æ^' æ^" 

 et |/a?4'Æ?^". Donc en substituant en (7) on trouvera les 

 expressions cherchées de ^i .. .$^, qui puissent être représen- 

 tées par une formule unique 



$i = 2^ ^y yk (an ßv — av ßnf = fi (ß) , 



en désignant par ik fxv successivement toutes les permuta- 

 tions possibles des nombres 12 3 4. Si Ton exprime ici ß^ 

 linéairement par ß-^ ß., ß^ à l'aide de la relation (5'), on aura 

 les coordonnées du pôle cherché exprimées comme fonctions 

 homogènes du second degré des trois paramètres ß-^ ß^ ß-^.,- 

 Mais après Steiner et Weierstrass un point variable dont les 

 coordonnées sont des fonctions homogènes du second degré 

 de trois param^ètres, décrira en général une surface Steineri- 

 enne. Donc le lieu cherché sera, ou une surface Steinerienne 

 générale, ou une degeneration d'une telle surface. 



