Petite co itribution à la théorie de la surface Steinerienne. 89 



Pour discuter le lieu de pôles complètement nous suivrons 

 la méthode de Clehsch. (Crelle-Borchardts Journal 1867). 

 Après lui il faut former l'expression 



et chercher de telles valeurs des coefficiens X, que q) {ß) devient 

 un carré complet. Si l'on trouve quatre systèmes distinctes 

 de valeurs qui satisfont à cette condition, la surface est une 

 surface Steinerienne générale. La recherche des A conduit à 

 une équation du quatrième degré, que l'on pourrait former et 

 résoudre. En suivant cette route on trouverait quatre racines 

 différentes et par conséquent quatre systèmes de valeurs diffé- 

 rentes pour les A. Mais une telle méthode serait assez labo- 

 rieuse. J'ai trouvé par une méthode synthétique quatre sy- 

 stèmes de valeurs, qui satisfont à notre condition. J'indiquerai 

 ces systèmes aussitôt, et en vérifiant qu'ils transforment la 

 quantité qj dans un carré complet je démontre en même temps 

 que la surface engendrée soit une surface Steinerienne générale. 

 Posons 



(8) 



-1/ 



^1 = — «1V2 Y^Ya -^ ^ 



A,3 = ?^ ß, A3 = ^' /2, A^ = ^ ß 



où 



(9) ^- a^''y.,y.,+a^'^y^^y^ ^ a.'y^r^, 



on vérifiera par un calcul élémentaire, dont je supprime les 

 details que 2 Ai/i prend la forme 



où 



Pi = «^4" Y i Y?> + ^3^ y -2 Y 4 + «2" Yn Y i 



P2 - — «1 «o Xb y^ Ps = — «1 «3 Yi Ya > P-t = — «1 ^4 Yi Ys- 



On connaît ainsi un système de valeurs pour les A, qui trans- 

 forment 2 Ai /i dans un carré complet. On voit de plus, qu'on 



