94 Sophus Lie. 



^^bsclinitt III- 



Allgeuieiiie Entwickelungeii. 



In diesem Abschnitte gebe ich einige allgemeine Ent- 

 Avickelungen, welche die principielle Grundlage meiner weite- 

 ren Untersuchungen bilden. 



§ 1- 



Iiiftiiitesimale Traiisformatioiieii erzeugen eine druppe, wenn 

 sie gewisse Relationen erfüllen. 



1. Die infinitesimalen Transformationen 



A/=2.X.s£- (Ä.= l...r) 



einer r-gliedrigen Gruppe sind nach meinen früheren Unter- 

 suchungen paarweise durch Relationen der Form 



A, (Ä^ (/)) - Ak (Ai {/))= 2 Cik, A,f 



wo die c Constanten sind, verbunden. Andererseits habe ich 

 auch gefunden, dass r unabhängige infinitesimale Transforma- 

 tionen, die paarweise solche Bedingungs-Gleichungen erfüllen^ 

 immer eine r-gliedrige Gruppe erzeugen. Auf diesen Satz, 

 den ich früher nur unter gewissen beschränckenden Voraus- 

 setzungen bewiesen habe, werde ich hier näher eingehen. 

 Ich betrachte die infinitesimale Transformation 



X^A,f+... +XyAyf 



mit den Parametern X^ . . . Ai , und die zugehörige eingliedrige 

 Gruppe 



Alsdann bestimmen die Gleichungen 



uU'i ^ / i \0u -I • • • iX/x\ Co -1 • • • (-X/y) 



mit den unbestimmten Parametern a-^ . . . a,- r-fach unendlich 

 viele verschiedene Transformationen. Es handelt sich darum 

 nachzuweisen, dass die Succession zweier solchen Transfor- 



