Theorie der Transformations-Gruppen. 99 



cCi = q)\{x^ . . . Æ?„ «] ... «!•) 

 aequivalent mit der Schaar (.3). Bemerke ich nun, dass in 

 den früheren Entwickelungen die Transformation Ayf sich 

 durch eine beliebige Transformation der Form ^Vi^Ji/ er- 

 setzen lässt, so kann ich den folgenden Satz aussprechen 



Satz 1. Die Succession einer beliebigen Transformation 

 æ\ = q)i (æ ^ . . . Wn a ^ . . . «,) mit einer infinitesimalen Transfor- 

 mation derselben Schaar ist aequivalent mit einer Transfor- 

 mation oo\ = q>x (^1 . . . .2?n «] + ^«1 . . . «r + ^«i), deren Para- 

 meter a^ + ^da^ unendlich wenig von den Grössen a^ verschie- 

 den sind. 



3. Es ist nun leicht nachzuweisen, dass die Succession 

 zweier beliebigen endlichen Transformationen unserer Schaar, 

 die respective die Parameter a\, und b^ besitzen, mit einer 

 einzigen Transformation der Schaar aequivalent ist. Nennen 

 wir die Parameter dieser neuen Transformation Ck, so findet 

 unsere Behauptung ihren Ausdruck in die Gleichung 



/i (/i (^1 • • . &k)/2 (&k) «1 . . . «,) =/i (^1 • . ■ Xn C^ .. . Cr) 



die wir kurzweg folgendermassen schreiben 



«k I &k = Ck . 



Wir setzen 



6k = Ak b 

 und fassen dabei die Àk als feste Grössen, b als eine Variable 

 auf. Die einfach unendlich vielen Transformationen Àk6 bil- 

 den bekanntlich eine eingliedrige Gruppe, (deren identische 

 Transformation der Annahme /> = entspricht), was wir fol- 

 gendermassen ausdrücken 



Ak ^0 I Ak ^1 = A.k (^0 + ^i) ; 

 insbesondere ist 



— Àk^&|Ak(6 + ^ô) = Ak&. 

 Diese Gleichung combiniren wir mit der früher (Satz I) 

 gefundenen: 



