100 Soplms Lie. 



cik\ — \k J b = ttk + J a^^ 

 wo der Zusammenhang zwischen den Grössen Jay, und Æ 

 durch ein gewisses simultanes System 



(6) Jai,^fkia^...a,)Jb 



ausgedrückt wird. Hierdurch finden wir die Gleichung 



«k ! A,k & = a,,\ — Xk J b\ \k (b + J b) = ak + Jak\Xi^(b + Jb) 

 die wir tblgendermassen schreiben 



J^^K1A.5J=0, 



indem wir nehmlich die «k als Funktionen von b, bestimmt 

 vermöge des simultanen Systems (6) betrachten. Sind 



«k = ipk{a^^' . . .ar^ b) 

 die Integral-Gleichungen dieses Systems, und entsprechen dabei 

 ak = a^^' der Annahme b = 0, so kommt 



rtk I A-k ^ = Const. = rtk*-' j = fîk*^ . 

 Hiermit ist nachgewiesen, dass die successive Ausführung der 

 Transformationen a^ und Ak b mit der einzigen Transforma- 

 tion <Xk" aequivalent ist. Hiermit ist das folgende Theorem 

 erwiesen : 



Theorem I. Sind r unabhängige infinitesimale 

 '^"Transfoi^ma Honen A^ f .,. Ayf paarweise durch Rela- 

 tionen der Form 



Ai (Ak {/)) -Au {A, (/)) = S Ciks A, f 



i 



verbunden, so erzeugen sie eine r-gliedrige Gruppe. 



§ 2. 

 Translioiiiite Traiisforiuationen. 



4. Sind ak und fck Transformationen einer Gruppe, deren 

 identische Transformation der Annahme a^ --^ entspricht, so 

 dass &k uud — bk inverse Transformationen bestimmen, . so 

 nenne ich die Transformation 



