106 Sophus Lie. 



der allgemeinste, in den œ lineare Ausdruck bezeichnet, der die 

 Gleichungen 



Ak {'S c cß) = a . 'S c æ 

 befriedigt. Tst dann 



^/= ^iPi + • • • + 5"i^>i 

 eine weitere inf. lineare Transformation, die r Relationen der 

 Form 



(^i B) = dii J.^ + . . . + du Ar 

 erfüllt, so behaupte ich, dass 5-^ . . . Bc^ Funktionen von æ^ . . . a?q 

 sind. 



Die inf. linearen Transformationen A\^f erzeugen nehmlich 

 eine lineare Gruppe Gr, deren Transformationen nach den 

 gemachten Voraussetzungen die Form 



X^' ^ Mæ ^ . . cTq' == M.fq 



Xq^i' = M^^Ul a^j + . . . + iMq + i. n ^n 



besitzen. Andererseits erzeugen die inf. Transformationen 

 A^f, Bf eine lineare Gruppe O, + > , und sei 



die Gleichungen einer beliebigen Transformation, die 6?,+ i 

 angehört. Vermöge dieser letzten Transformation transponire 

 ich die voransteh nde Transformation der Gruppe G,-, und er- 

 halte so die Transformation 



2 iV,,o. Xg" = M. 2 iV,,,. .rg» ... 2 iVq,„ æ," ^ M. 2 iVq,. æ^"^ 



Nach Theorem II soll diese Transformation der Gruppe (r,- 

 angehören. In Folge dessen müssen die Ausdrucke 



S Ni^^æ. . . . S Nq,gæ.^ 

 lineare Funktionen von æ^ ... .^^, sein, da nehmlich Cj a? , + . . . 

 + Cq æq = S c a: der allgemeinste Ausdruck ist, der alle Glei- 

 chungen 



Äk (2 c æ) =^ a . 2 c cV 

 befriedigt. 



