108 ■ Sophus Lie. 



[AiA]^ k) = <?!, i+k, 1 A^ + . . . + Ci,i+k, i-^k -1 ^i+k 1 



erfüllen. Folglich bilden A^ und A.^ eine Gvuppe G.,, ebenso 

 bilden ^^, A., und ^3 eine Gruppe (T3 u. s. w. Ferner wird 

 jede Gruppe Gp durch Transposition mit Ap + 1 in sich selbst 

 übergeftihrt. Ich werde zeigen, dass die r vorgelegten inf. 

 Transformationen eine gemeinsame einfache Form erhalten 

 können. 



Zunächst kann A^f durch zweckmässigen Wahl dei un- 

 abhängigen Variabein die Form 



a (,r ^ p , + .,. + æ.^ />,.i) + ^,1 + 1 />,, + 1 4 . . , 



erhaften, und dabei kann ich annehmen, dass c^ æ^ + . . . c^^q 

 die allgemeinste lineare Grösse ist, die 



A y {^ c ct) ^- a . 2 c a; 

 giebt. Nach dem vorangehenden Satze ist es jetzt möglich 

 die unabhängigen Variabein derart zu wählen, dass 



A^f=a(æy-p^'+... +.Æq '/>,,■') ^ 5q + 1 Pq- + I + • . • 

 A. f= ß (/r , 'p/ + . . . + .Tq ' p,/) + ?/,,■ -^ , /'q' + 1 + . . . 



wird. Dabei kann man offenbar voraussetzen, dass c^ *■/ + . . . 

 + Cq' .Xq die allgemeinste lineare Grösse ist, die 



A I (2 c æ') = a . 2 c æ', A> {"2 c æ' ) = ß . 2 c æ' 



giebt. Folglich kann man den vorangehenden Satz auf Neues 

 anwenden. Es ergiebt sich, dass es möglich ist, die unabhän- 

 gigen Variabein derart zu wälen, dass A-^f, A>f, und A.,J 

 die gemeinsame Form 



a' («'/'j) /' + ... + ,2?q'-"^>q") + 5q" + lPq '- ■ ••• 



erhalten u. s. w. Durch Fortsetzung dieser Betrachtungen 

 erhält man den Satz. 



Satz 6. Sind die inf. lim area Transformationen A ^ f . . . 

 Ai- f durch Relationen der Form 



(Ai, .4, ^ k) = À I .4.^ + . . . + Ai + k _ 1 .4i ^k -. 1 

 verknüpjt., wobei die Constanten A mit den Zahlen i und k 



