116 Sophus Lie. 



Hiermit ist nachgewiesen, dass Hi. . . H^G eine (r + i)-glie- 

 drige Gruppe bilden. Also 



Theorem V. Sei Hi , . . Hm eine Gruppe und sei 

 (^Hi -Hi + k) = ^1 ^i + . ' • + Å-i Hi. Ist diese Gruppe in einer 

 {ra + p)-gliedrigen Gruppe enthalten, so gieht es im- 

 mer eine {m + l)-gliedrige Gruppe., die die m-glie- 

 drige Gruppe enthält, und dabei in der (m + p)-glie- 

 drigen Gruppe enthalten ist. 



Dieses letzte Theorem, das in dieser Abhandlung nicht 

 benutzt wird, wurde bei meiner ursprünglichen Bestimmung 

 von allen Gruppen einer Ebene fast be^i jedem Schritte ange- 

 wandt. 



§5- 



Ein Fïmdamental-Satz über Gruppen von Punkt- 

 Transformationen. 



In meiner zweiten Abhandlung über Transformations- 

 Gruppen stellte und erledigte ich die Frage, wenn zwei r-glie- 

 drige Gruppen durch eine ^gm/irwn^s-Transformation sich in 

 einander überführen Hessen. Es ist schwieriger zu entschei- 

 den, ob zwei r-gliedrige Gruppen von Pimfci-Transformationen 

 sich in einander umwandeln lassen. Diese letzte Frage beabsich- 

 tige ich eingehend in diesem Paragraph zu behandeln. Dabei 

 mu s ich bemerken, dass diese Untersuchung nicht wesentlich 

 in dieser Abhandlung verwerthet wird, während sie allerdings 

 an und für sich ein bedeutendes Interesse darbietet. 



12. Seien vorgelegt zwei r-gliedrige Gruppen von Punkt- 

 Transformationen zwischen je r Variabein 



Bi f.... B..f (3/1 ....yv) 

 und 



B,'f B,.'f {y,'....yy'). 



Soll es möglich sein, diese Gruppen in einander durch eine 



