120 Sophus Lie. 



sind, so definiren diese Relationen eine Punkt-Transformation,, 

 die eo ipso eben die bekannte Berübrungs-Transformation ist. 

 In diesem Falle ist also die Richtigkeit unserer Behauptung 

 unmittelbar einleuchtend. 



Im Allgemeinen giebt es jedoch nicht soviele wie v Grös- 

 sen <pki, die unabhängig sind, sondern nur etwa ix solche, 

 die q)\ cpi . . . qjjx heissen mögen. Dabei ist es denkbar, dass 

 gewisse Funktionen der (p: 



ipv (<pi . . .), ^v-i. . .rpX + i 



sich als Funktionen von æn + i...oov ausdrücken lassen, und 

 also Lösungen des vollständigen Systems A^f^Q sind: 



Da nun vermöge der bekannten Berührungs-Transformation 



ist, und also zugleich 



so folgt, dass auch die Grössen 



jj;v {cpJi ^'-2 . . . ) = tv'^ Tpv -\ .. . t^ + i 



unabhängige Funktionen von Xy,j^\ . . . ccv' sind. Unsere Be- 

 rührungs-Transformation giebt also jedenfalls v — À Relatio- 

 nen zwischen oo^^i . . . xv und æ\ . . .x'^^i nehmlich 



Ohnedies kennen wir fx + X — v oder sage ich q Relationen, 

 die vermöge unserer Berührungs-Transformation stattfinden, 

 und wir können annehmen, dass 



diese Relationen sind. Ich führe neue unabhängige Variabein 

 z ein, indem ich setze 



Z^-X = Cpd-i, Zq + l = Æ7q + 1 . . . Z\ = .T A , ^^| -f i = l/>A + i , 



