Theorie der Transformations-Gruppen. 125 



aZq — i «2q + i 



oder 



A/= A^'f, 



womit die verlaagte Transformation geleistet ist. Also 



Theorem VI. Sind A^f . . , A^f und A^' f ... Ay f zwei 

 r-gliedrige Gruppen von Punkt- Transformationen, 

 die durch Berührungs- Trans formation in einander 

 übergehen können., und enthalten dabei 'die Glei- 

 chung s- Systeme A^,/ = lind A\^' f ^0 gleichviele unab- 

 hängige Gleichungen, so giebt es immer eine Punkt- 

 Transformation, die die betreffende Ueberführung 

 leistet. 



Hier füge ich zwei wichtige Bemerkungen hinzu. Es 

 wäre möglich gewesen von der Forderung ^k/=^k'/ ausge- 

 hend durch eine analytische Methode die allgemeinste Trans- 

 formation zu bestimmen, welche diese Forderung erfüllt. 

 Ebenso kann man immer entschieden, ob gewisse vorgelegte 

 Ausdrücke ^k/ (die keine Transformations-Gruppe bilden) 

 sich in gewisse andere Ausdrücke /4k'/ überführen lassen; 

 und wenn dies möglich ist, kann man die allgemeinste Trans- 

 formation angeben, die eine solche Umwandlung leistet. 



AUe Crruppen einer zweifaclransgedelmteii Pmikt- 

 Mannigfaltigkeit. 



Ich wende mich nun zur Bestimmung aller Gruppen einer 

 zweifach ausgedehnten Punkt-Mannigfaltigkeit. Dabei bemerke 

 ich schon hier, dass die Entwickelungen der beiden ersten 

 Paragraphen sich ohne Schwierigkeit auf beliebig ausgedehnte 

 Mannigfaltigkeiten ausdehnen lassen. 



