126 Sophus Lie. 



- § 6. 



iTifliiitesiinale Transformatioiieii von verschiedener Ordnung. 



In den Gleichungen einer Transformations-Gruppe 



Oui ^^ / i \^ 1 • ' • ^n ^1 • • • (^y) 



sind die /i synektische Funktionen innerhalb eines gewissen 

 Bereiches von den betrefiPenden Argumenten. Die /i können 

 daher immer als Reihen-Entwickelungen betrachtet werden, 



Jede Gruppe, die wir betrachten, enthält eine identische Trans- 

 formation, und wir können annehmen, dass die Parameter- 

 Werthe a" eben die identische Transformation bestimmen. 

 Geben wir nun den «k Werthe, die von den «k" sehr wenig 

 verschieden sind, so erhalten wir eine Transformation, ver- 

 möge deren die Xi sehr kleine Incremente erhalten. 

 16. Sei jetzt w = S 



x^= æ, Xo =y, pj =p, p. = q. 



Unsere infinitesimale Transformation bat die Form 



ÔX = ôt {Aq ■¥ A-^ X j- B^ if + A^ x'- + 2B.^ xy + C.,y^ + . . .] 

 ôy = ôt [a^ + a-^ X -^ b-^ y + a^ x^ + 2 &._, xy + c.^^ r/^ + . . .} 



indem x^^ und y^ gleich Null angenommen sind. Sind Â^ 

 und «0 nicht beide Null, sage ich, dass unsere inf. Transfor- 

 mation von nullter Ordnung in der Umgebung von x = 0, 

 y = ist. Verschwinden dagegen Aq und «q, während jeden- 

 falls eine unter den Grössen A^ B^ a^ h^ von Null verschieden 

 ist, sage ich, dass die inf. Transformation von erster Ordnung 

 ist u. s. w. 



Ist r >- 2, so enthält die Gruppe jedenfalls r — 2 unab- 

 hängige inf. Transformationen, die in der Umgebung von x =-0 

 y = von der ersten Ordnung sind. Ist r > 6, so enthält die 



Gruppe jedenfalls i 6 unabhängige inf. Transformationen, 



die in der Umgebung von x = .y = von der zweiten Ord- 



