Theorie der Transformations-Gruppen. 127 



nung sind u. s. w. Die Form einer solchen Transformation ist 



ose = (J.2 æ' + 2B^ xy +C^y^ + ...)ôt 

 ôy = (a._, CC" + 5&y xy + c^ y^ + . . .) öt 



Ist y> 12 so enthält die Gruppe jedenfalls r — 12 inf Trans- 

 formationen, die in der Umgebung- von x = 0, y = von der 

 dritten Ordnung sind u. s. w. Die Form derselben ist 



ÔX = dt 2 aiX^ y^~' + . . . 

 oy = ot:^ßiX'y^-' + ... 

 oder nach unserer gewöhnlichen Bezeichnungsweise 



a"(3) = p :s ai X' y'^ -' + q :S ßi X' p^-^ + . . . 



Dementsprechend bezeichnen wir die inf. Transformationen, 

 die in der Umgebung von x^O y = von der s*"'" Ordnung 

 sind, mit 



JJ'ß) ^ p ;s ai x'^ y^ ^ ^ + q 2 ßi x^ y^ ~ ^ + . . . 



17. Wir ordnen die inf. Transformationen unserer Gruppe 

 folgendermassen zusammen. Lass mich voraussetzen, dass es 

 keine inf. Transformation giebt, deren Ordnung in der Umge- 

 bung von x--^0, y = grösser als s ist, während die Gruppe 

 gewisse Transformationen von der s*«» Ordnung 



enthält. Es seien ferner 



die von den vorangehenden unabhängigen inf. Transformatio- 

 nen von der (s. — i)*''" Ordnung. Ebenso seien 



die von den vorangehenden unabhängigen inf. Transforma- 

 tionen von der (s — 2)^^"^ Ordnung u, s. w. Und seien end- 

 lieh 



die inf. Transformationen von der nullten Ordnung. 



Es ist leicht wichtige Beziehungen zwischen diesen inf. 



