128 Sophus Lie. 



Transformationen von vorn anzugeben. Dieselben beruhen auf 

 den Satz. 



Satz 7. Sind H und K inf. Tr ms formationen bezüglich 

 von der Ordnung h und h in der Umgehung von x= y = 0, 

 so ist {H K) jedenfalls von der Ordmmg h + k — 1. 



Durch Bildung von (H K) erhält man nehmlich einen 

 Ausdruck, deren Glieder von der (h + k — i)^''° oder noch hö- 

 heren Ordnung sind, womit der Beweis geführt ist. 



Ich setzt; jetzt voraus, dass s grösser als 1 ist. Folglich 

 ist jeder Ausdruck 



(m-^ W-) ) 



jedenfalls von der Ordnung 2s — 1, das heisst von höherer 

 Ordnung als s. Nun aber enthält unsere Gruppe nach den 

 gemachten Voraussetzungen keine inf. Transformation, deren 

 Ordnung grösser als s ist. Also verschwinden sämmtliche 

 Ausdrücke (Hi^^^ H'k.'^'>) identisch. Anders ausgesprochen 



Satz 8. Ist s grösser als 1, so bilden die inf. Transfor- 

 mationen der s*''" Ordnung ein Involutions- System. 



Ist (? irgend eine Zahl, kleiner als s, so bilden die Inf. 

 Transformationen 



^.C'^) ^2^0) 



£r,(«-i) II 



■1) 



£r3_(«)Æ?2^«' 



immer eine Gruppe. Denn sind K und G zwei beliebige un- 

 ter diesen Transformationen, so ist der Ausdruck {KG) jeden- 

 falls von der Ordnung o', und drückt sich also immer linear 

 durch die aufgestellten Transformationen aus. Dies giebt: 



Satz 9. Alle inf. Transformationen einer Gruppe, deren 

 Ordnung in der Umgebiing von oc = oß^^ V ^ Vo g'^össer als eine 

 beliebig gegebene Zahl ist, bilden wiederum eine Gruppe. 



18. Lass mich voraussetzen, dass 6 grösser alsli^i, und 

 lass mich setzen 



