130 Sophus Lie. 



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so bliebe der eben aufgestellte Satz noch gültig. 



§ 7. 

 (iruppen, bei denen keine Ourven-Scliaar invariant bleibt. 



Um nicht zu weitläufig zu werden, erlaube ich mich in der 

 folgenden Nummer das Räsonnement theilweise in geometri- 

 scher Terminologie zu führen. 



19. Ich betrachte überhaupt alle Gruppen von Punkt- 

 Transformationen, bei denen keine Curven-Schaar 



(p{æy) = a 



invariant bleibt. Analytisch ausgesprochen: Sind A^f, A.^f 

 . . . Ayf die infinitesimalen Transformationen der Gruppe, so 

 setze ich voraus, dass es keine Gleichung 



Bf= B, p + 7^ q = Q 



giebt, die zu den A\^f in solcher Beziehung steht, dass r Glei- 

 chungen der Form 



A^{B[f)) — B {A^ (/)) = cp^ {œij) . Bf 



bestehen. 



Hieraus folgt nun zunächst, dass es unter den Gleichungen 

 A^f = zwei giebt, die unabhängig sind. Beständen nehmlich 

 Relationen der Form 



A^f^xl)\,{xy).A^f, 

 so käme 



JL, {A, ( /•)) — A^ (Ak (/■))=•- .4^ (^0 . ^1 /, 



welche Gleichung mit unseren Voraussetzungen im Wider- 

 spruche stände. — Geometrisch ausgesprochen heisst dies, dass 

 eine Gruppe, bei der keine Curven-Schaar invariant bleibt, 

 einen beliebig gewählen Funkt nicht nur nach einer Curve, 



