Theorie der Transformations-Gruppen. 131 



sondern in der ganzen Ebene herumführen muss. Was aller- 

 dings evident ist. 



Verlegt man nun Origo (æ = y = 0) nach einem arbiträren 

 Punkt, so giebt es eo ipso zwei inf. Transformationen, die 

 in der Umgebung von {x = 2/ = 0) von der nullten Ordnung 

 sind. Seien 



S^W =p + ... 

 H,J^ = Î + ... 

 diese beiden Transformationen. 



Der Inbegriff aller inf Transformationen, die in der Um- 

 gebung von rt? = 3/ = von der ersten oder höheren Ordnung 

 sind, lassen den Punkt æ = y = seine Lage behalten. Da- 

 gegen vertauschen sie die durch diesen Punkt hindurchge- 

 henden Richtungen unter sich. Hierbei ist zu bemerken, 

 dass die inf. Transformationen von der zweiten und höheren 

 Ordnung jene Richtungen invariant lassen. Es giebt ferner 

 eine inf. Transformation erster Ordnung, welche ebenso diese 

 Richtungen invariant lässt; dies ist nehmlich der Fall mit 



oop + yq + . . . 



Die besprochenen Richtungen bilden ein lineares Gebiet, 

 das bei den inf. Transformationen erster Ordnung linear 

 transformirt wird. Hierbei sind die folgenden Fälle denkbar. 

 Das Gebiet wird nullgliedrig eingliedrig, zweigliedrig oder drei- 

 gliedrig transformirt. In den drei ersten Fällen giebt es 

 eine durch den Punkt (.t? = ?/ = 0) hindurchgehende invariante 

 Richtung. Und da Origo ein arbiträrer Punkt der Ebene ist, 

 so existirt es in den drei ersten Fällen eine bei der Gruppe 

 invariante Gleichung 



B p + 7} q = 

 was unserer Voraussetzung widerspricht. Folglich muss das 

 Giebt der durch Origo gehenden Richtungen dreigliedrig trans- 

 formirt werden, was darauf hinsauskommt, dass die Gruppe 

 jedenfalls drei inf. Transformationen erster Ordnung enthält. 

 Giebt es nur drei, so darf die Transformation xp + yq+ . . . 



