132 Sophus Lie. 



nicht in der Gruppe enthalten sein, und dann sind unsere 

 drei inf. Transformationen von der Form 



æq + . . . 

 æp — yq-^ . . . (A) 



yp + ... 



Oder auch enthält unsere Gruppe vier inf. Transformationen 

 erster Ordnung, die dann eo ipso die Form 



ooq -h . . . 



yq + ... (B) 



xp + . . . 



yp^ ... 



besitzen. Aus dem Vorangehenden fliesst u. A. auch der Satz 

 Satz 11. Lässt eine vorgelegte Gruppe keine Curven-Schaar 

 cp {ccy) =■- a invariant, so enthält die Gruppe jedenfalls fünf 

 inf. Transformationen. Unter denselben gieht es in der Umge- 

 hung eines beliebigen Punkts zwei die von nullter Ordnung sind, 

 und entweder drei (A) oder vier (ß) die von erster Ordnung 

 sind. 



20. Lass uns voraussetzen, dass unsere Gruppe die Form 

 besitzt 



p -^ . . . 

 q + ... 



H^^^' == æp — yq + . . . 

 ^3^1^ = æq + ... 



£Z>s) ^p 2 aix'y^-' + q 2 ßiX'y^-' + . . . 



und sei s die grösste Ordnung einer inf. Transformation. Ich 

 bemerlie, dass die Transformationen 



H.^ W H.^a) £f(s) 



eine Gruppe bilden, auf die Satz 10 angewandt werden kann. 

 In Folge dessen können wir annehmen, dass Relationen der Form 



