134 Sophus Lie. 



gehört unserer Gruppe. Folglich lehrt Satz 8, dass der Aus- 

 druck 



{afq + ..., oß^p — s æ^-^y q + ...)= — 2s æ'^^~'^ q 



identisch verschwindet; und dass also 5 = ist. Da indess 

 dies mit unseren Voraussetzungen im Widerspruche steht, so 

 muss y5s = sein. 



Zurück steht somit nur die Hypothese 



_g-(s) = a;^ p + ^'ffS — ] ^ q 



Da unsere Gruppe eine Transformation q + . . . enthält, so en- 

 thält sich auch eine der Form 



(q + . . . , æ'^ p + x^"^ y q + . . .) '-^ a!^'~'^ q . . . 



und zugleich die Transformation 



(cT* ~ ^ g' + . . . , tV^ p + w^"^ y q + . . .) 



oder ausgeführt 



(2 — s)æ'^^-^q 



Wäre nun s > 2^ und also zugleich 2s — 2 > s, so enthielte 

 unsere Gruppe eine inf. Transformation, deren Ordnung grös- 

 ser als s wäre. Also muss die Zahï s, die auch nicht kleiner 

 als 2 sein darf, eben gleich 2 sein. 



Man verbinde nun die gefundene Transformation 



æ'' p + æ i/q + . . . 



mit p + . . .. Hierdurch ergiebt sich, dass unsere Gruppe auch 

 eine Transformation der Form 



2æp + yq + . . . 

 enthält, das heisst, dass sie vier inf. Transformationen erster 

 Ordnung enthält, so dass die Voraussetzungen dieser Nummer 

 nie eintreten. 



Indem man die Voraussetzungen in Uebereinstimmung 

 mit dem Vorangehenden umändert, ergiebt sich durch ein 

 ganz identisches Räsonnement das folgende Theorem 



Theorem VIL Enthält eine Oruppe, die keine 



