Theorie der Transformations-Gruppen. - 135 



Ourven-Schaar qj = a invariant lässt, in der Umge- 

 hung eines beliebig gewählten Punkts inf. Transfor- 

 mationen., deren Ordnung s grösser als 1 ist, so muss 

 s gleich 2 sein. Es giebt vier inf. Transformationen 

 erster Ordnung. 



21. Nach den vorangehenden Entwiekelungen giebt es 

 dreierlei Gruppen, die keine Curven-Schaar invariant lassen. 

 Erstens ftinfgliedrige Gruppen, zweitens sechsgliedrige Grup- 

 pen, drittens Gruppen mit mehr als sechs Glieder. Die bei- 

 den ersten Arten enthalten keine inf. Transformation, deren 

 Ordung grösser als 1 ist. Wir v\^erden zeigen, dass es nur 

 eine Gruppe von jeder Art giebt. 



Enthält eie Gruppe mehr als sechs Glieder, so muss sie 

 nach den Entwickelungen der vorangehenden Nummer, indem 

 wir zugleich berücksichtigen, dass 



(yp + . . . , œ^p + æ y q + . . .) ^ æyp + y^ q + . . . 



ist, jedenfalls die folgenden Transformationen enthalten: 



K,- p+... 



iSTg ^ oop -^ . . . 



K^ = œq-^ . . . 



K-^=yp + ... 



KQ^yq + ... 

 Krj = x'-p -^ æ yq + . . . 

 K^ = xyp+ y''q+... 



Es fragt sich, ob sie noch weitere inf. Transformationen, die 

 dann nach Theorem VIT von zweiter Ordnung sind, 



K= ^p + rj q 



enthalten kann. Um diese Frage zu entscheiden, beweisen wir 

 zuerst den folgenden Satz, den wir auch später brauchen 

 werden 



