136 Sophus Lie. 



Satz 12. Liegen die Transformationen A^fA^fA^f, wo 



paarweise in Involution, und sind dabei A-^f=0 und A^f=0 

 unabhängige Gleichungen, so ist A.^ gleich der Summe von A -^ f 

 tmd J-2 / multiplicirt mit je einer Constante. 



Beiveis. Durch Einführung passender unabhängigen Va- 

 riabein æ' und y' kann man die Ai,f auf die folgende Form 

 bringen 



A^f=f , A.J^q' 



und dabei ist 



dB,' d^'_^ ^''''_^'^'_A 

 doo' dy' ^ dx' dy' ' 



so dass 



AJ^Ap'^Bq' 



wird, womit der Beweis geführt ist 



Da nun K (Satz 8) sowohl mit K^^ wie mit K^ in Invo- 

 lution liegen müsste, und also die Form 



K-AK^+BK^ 

 besässe, so folgt, dass unsere Gruppe nicht mehr als 8 inf. 

 Transformationen enthalten kann. Wir werden zeigen, dass 

 sie in die allgemeine lineare umgewandelt werden kann. 



Es ist von vorn möglich diejenigen Eelationen anzugeben, 

 die zwischen K^ K^ jfiT- K^ und K^ K^ bestehen. Es ist 

 in der That 



{K,K,)^K,,{K,K,) = 

 u. s. w. 

 Man führe neue unabhängige Variabein æ' y' ein, und wähle 

 dieselben derart, dass 



æ^^p + æyq + . . .=^ æ''^ p' + æ' y' q' 

 æyp + y^ q + . . , = œ'y'p' + y'^ q' 

 wird. Ich setae sodann 



