138 Sophus Lie. 



alsdann kommt 



{^'p' + 7;' g' , æ"'p' + x' y' g') = 0, 



{^'p' + v' q' , œ'y'p' + y" gO =0, 



so dass 



B'p' + T/'q' = 



gesetzt werden kann. Folglich wird 



K,=p' 

 In ganz analoger Weise ergiebt sich, dass 



K, q' 

 ist. Hiermit ist das folgende äusserst merkwürdige Theorem 

 erwiesen : 



Theorem IX. Lässt eine gegebene Transforma- 

 tions-Gruppe keine Curven-Schaar q) -= a invariant, 

 und besitzt sie dabei mehr als 6 Parameter, so en- 

 thält sie acht infinitesimale Transformationen. Die- 

 selben erhalten durch zweckmässigen Wahl der un- 

 abhängigen Variabein die Form 



p,q,orp,yp,xq,yq 

 x" p + xy q , xyp + y- q 



Die erzeugte achtgliedrige Gruppe hat wie man un- 

 mittelbar ver/ficirt, die Form, 



ax + by + c 



X ^ ~ 



aw + ßy + y ' 



, Ax ■¥ By + C 

 ^ ax + ßy + y' 



das heisst man erhält die allgemeine lineare (gebro- 

 chene) Gruppe. 



