144 Sophus Lie. 



Nun ist 



und also 

 ferner ist 



{q + ..., yp + ...)- (Kq', y' p' + --^-,q') 



p + . . . = Kp' 



(yp + . . . ,P + . . ■) - (y' p' + -7?,, qU Kj)') 



3KD 



oc 



i\ 



woraus folgt 



oder, da K nicht verschwinden darf 



Z> = 0. 

 In den Variabein æ' if nehmen also die fünf infinitesimalen 

 Transformationen die Form 



p, q, xq, xp — yq, yp. 



Also 



Theorem XL Alle fünfgliedrigen Gruppen, die 

 keine Curven-Schaar invariant lassen, können durch 

 Einführung zweckmässiger Variabein die Form 



p,q,xq,xp — yq,yp 

 erhalten. 



§ 8. - ■ . 



(jriippeii, die eine Curven-Schaar invariant lassen. 



Seien A^f... Ar f die infinitesimalen Transformationen 

 einer Gruppe, welche die Curven-Schaar cp = a invariant lässt, 

 alsdann drückt sich jedes ^k (p als Funktion von ç> aus 



^k (p = Sk (cp) . 

 Ich setze 



(p =' X 



