Theorie der Transformations-Gruppen. 145 



oder wenn wir setzen 



wo die JBk/ inf. Transformationen des Gebietes x sind : 



Folglich bilden die ßk/ eine Gruppe, die sich durch passen- 

 den Wahl der Grösse x bekanntlich in eine lineare Gruppe 

 umwandeln lässt. 



Es können nun vier Fälle eintreten jenachdem die B^f 

 eine nullgliedrige, eingliedrige, zweigliedrige oder dreiglie- 

 drige Gruppe bilden. Und das Problem, alle Gruppen zu 

 bestimmen, die eine Curven-Schaar invariant lassen, zerlegt 

 sich somit in vier Probleme, nehmlich in der Bestimmung von 

 den Gruppen, die den vier verschiedenen Möglichkeiten ent- 

 sprechen. Es ist dabei leicht zu erkennen, dass diese vier 

 Unter-Probleme in genauem Zusammenhange stehen. Nach 

 dem Obenstehenden kann man nehmlich annehmen, dass die 

 infinitesimalen Transformationen einer jeden hierher gehörigen 

 Gruppe die Form 



(A^^ + A-^^ X + A^ æ^)p + f? Ç 

 besitzen. Giebt es nun mehr als drei etwa r inf. Transfor- 

 mationen in der Gruppe, so giebt es jedenfalls r — 1 Trans- 

 formationen von der Form 



{Bo + B^x)p + r?q 



deren Inbegriff eine Gruppe bilden. Ferner giebt es jedenfalls 

 r — 2 Transformationen der Form 



Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 3 B. 2 H. 10 



