146 Sophus Lie. 



B.p—rfq, 

 deren Inbegriff eine Gruppe bilden. Endlich giebt es jeden- 

 falls r — 3 Transformationen der Form 



die wiederum eine Gruppe bilden. 



Hiermit ist der folgende Weg gegeben zur Erledigung 

 unseres allgemeinen Problems. Man bestimmt die allgemein- 

 ste r-gliedrige Gruppe, deren inf Transformationen sämmtlich 

 die Form ?; q besitzen. Darnach bestimmt man in allgemein- 

 ster Weise eine inf. Transformation p + r/q, die mit den r 

 Transformationen der r-gliedrigen Gruppe eine (r + l)-glie- 

 drige Gruppe bestimmen. Sodann sucht man die allgemeinste 

 Transformation æp + ijq, die mit den r+1 Transformationen 

 der letzten Gruppe eine (r + 2)-gliedrige Gruppe bestimmen. 

 Endlich sucht man die allgemeinste Transformation æ^p + 77g, 

 die mit den r + 2 Transformationen der letzten Gruppe eine 

 (r + 3)-gliedrige Gruppe bestimmen. 



Bestimmung aller Grinippen der Form ri^q t^.^ Q ■• -v^q- 



Die Bestimmung aller Gruppen der Form ri^q, . . .ij^q 

 wird wesentlich vereinfacht durch die folgende Bemerkung. 

 Man nehme einen beliebigen Punkt Xq y^ und betrachte die 

 r — 1 infinitesimalen Transformationen der Gruppe, die in der 

 Umgebung von ^^ y^ von erster Ordnung sind. Dieselben 

 erzeugen eine {r — l)-g]iedrige Gruppe (Satz 9), der Inbe- 

 griff nehmlich aller Transformationen der vorgelegten Gruppe, 

 die den Punkt æ^ y^ invariant lassen. Dies giebt den Satz 



Satz 13. Jede r-gliedrige Oruppe der Form rj^ q enthält 

 {r — \)-gliedrige Untergruppe. 



Hiermit ist der folgende Weg gegeben zur Erledigung 

 unseres Problems. Man bestimmt zuerst die allgemeinste ein- 

 gliedrige Gruppe r/i q, sucht sodann in allgemeinster Weise 

 eine inf. Transformation z;,, q die mit 7^ q eine Gruppe bildet, 



