148 Sophus Lie. 



H^ und f/g ausdrückt, und offenbar können wir ohne Beschrän- 

 ckung annehmen, dass dies eben mit {H-^ H^) der Fall ist, so 

 dass wir a^ = setzen können. Wir finden also 



dy 



X^^ ^ a^ X^ +«2 ^i 



wäre nun ?/ keine Funktion von x allein, so müsste in der 

 letzten Gleichung die rechte wie die linke Seite nur æ enthal- 

 ten und also &3 = sein. Hieraus lässt sich nun leicht her- 

 leiten, dass -^ eine Constante ist. Denn unsere Formeln 

 ' ày 



zeigen, dass jeder Ausdruck 



{A,X^^A,X,)^^^ 



sich als lineare Funktion von X^ und X.y^ ausdrücken lässt 



(^1 X, -h ^, ^2)^ - -ßi ^1 + ^2 -^2 



Ebenso ist 



{ß, X^ + B^ X.} p^=G,X, + C, X, 



woraus 



(Ä, X, + A,X,) (g)' -C,X, + C, X„ 



und im Allgemeinen 



{Ä, X, + A, X,) (^)' = L, X, ^L,X,, 



welche auch die ganze Zahl k ist. Insbesondere käme zwei 

 Gleichungen der Form 



dy 1 ^ X^ 



m-^.^^-^ 



X, 



dy) —1 -'^ X, 



