Theorie der Transformations-Gruppen. 149 



die mit Noth wendigkeit verlaagCD, dass M^ = N.^ =0 ist. 

 Also kommt 



woraus durch passenden Variabel-Aenderung folgt 



Tf^ y 

 so dass die Form der Gruppe wird 



^iq, -STg g , y.q. 

 Wäre dagegen tj eine Funktion von œ, so besässe die 

 Gruppe die Form 



X^q X^q Xg q. 

 Endlich müssen wir diejenigen dreigliedrigen Gruppen be- 

 stimmen, die die zweigliedrige Gruppe q,yq enthalten. Sei 

 qyq t/q eine solche Gruppe, so dass 



Es ist nun leicht zu erkennen, dass a^ = ist. Um das zu 

 beweisen, werde ich zuerst den folgenden Satz, der uns auch 

 später nützlich sein wird, beweisen 



Satz 14, Sind H ^ Hr, . . . H^ infinitesimale Transformatio- 

 nen einer Gruppe und K irgend eine Transformation, und be- 

 stehen dabei Relationen der Form 



{H, H,) = H^ , (H^ K)-^a,K+ :S «k H^ 



{H.,K) = a.,K-'r 2 ßy,H^ 



so ist a^ gleich Null. Zu bemerken ist, dass K und die H^ 

 keine Gruppe bilden brauchen. 



Zum Beweis bilden wir die Identität 



((H, H,,) K) + ({H, K)H^} + ({K H^) H.,) = 0, 

 woraus 



{H, K) + (a^K+2 ß^Il,,H^) 



— {a^ A' + ^S «k -ETk , i^a) = Ö 



