154 Sophus Lie. 



Gruppen, bei denen die Curven einer Schaar eingliedrig 

 transforrairt werden. 



Ich werde jetzt alle Gruppen der Form 



bestimmen. Dabei weiss ich, dass die rj^ q eine Untergruppe 

 bilden, die eine unter den drei soeben aufgestellten Formen 

 besitzt. Zu bemerken ist ferner, dass jedes (^k q, p + 17 q) 

 sich offenbar linear durch die ^/k q ausdrücken muss. 



Ich suche zunächst alle Gruppen der Form q, y q, y^ q, 

 p + tjq. Es bestehen Gleichungen der Form 



dyf^ = a„ + 2a-^ y + 3a., y'\ 

 ydyTi -Tf^'h^, ^2b^y +3h^y\ 

 y^dyrf — 2yrf^ «o ^ ^^xV + ^ '-iV'' ■ 

 Die erste zeigt, dass 



r} = a^y + a^y^^ a.^ y'' + f {00) , ■ 

 oder da wir ohne Beschränckung «^ =a^ =0 setzen können 

 7j = a^y'^ + f (æ) ; 



die letzten Gleichungen zeigen, dass a„ =/(^)=0 ist, so dass 

 r? = wird. Unsere Gruppe besitzt daher die Form 



q, yq, y^q, p 



Jetzt suchen wir alle Gruppen der Form 



X\q X.q...Xrq,p + ?jq. 



Ist r = 0, kann man die Variable y derart wählen, dass 77 = 

 wird, so dass die Gruppe die einzige Transformation p enthält. 

 Hat r einen beliebigen Werth, so kann man immer Theo- 

 rem IV mit zugehörigem Zusätze anwenden. Man kan daher 

 annehmen, dass Relationen der Form 



dæ ^ dy ^ ^ 



