174 Sophus Lie 



Miiiimalfläclieii mit einer ebenen geodätischen Curve. 



Jetzt werden wir uns auf Minimal flächen beschränchen, 

 die eine ebene geodätische Curve E: 



z = 0,f{æy) = 



enthalten. Und lass uns mit Henneherg voraussetzen, dass E 

 die Evolute einer reellen algebraischen Curve C: 



z = 0, (p (æy) = 



ist. Ich nenne die Ordnung und Classe der Evolute E bezüg- 

 lich 0,. und c,,. Ferner sei s die Zahl der parallelen Tangen- 

 ten, die zu der Curve C gezogen werden können. 



Ich construire die Developpable, die um C und den Ku- 

 gelkreis umgeschrieben ist. Die Rückkehrkante dieser Deve- 

 loppable^) ist eine Minimalcurve, deren Ordnung gleich 2 o^, 

 deren Rang gleich 2 Co ist. Die Multiplicität des Kugelkreises 

 auf der Developpable ist gleich e. In Folge dessen ist die 

 Classe der erzeugten Minimalfläche (die nach unseren Voraus- 

 setzungen eine Doppelfläche ist) gleich s (2 Ce — «). Also 



Enthält eine algehr i ische MinimaMäche eine reelle ebene 

 geodätische Curve, deren Classe gleich c^ ist, so ist die Classe 

 der Fläche gleich s {2 c^ — s). s ist die Zahl der parallelen reel- 

 len Tangentenehenen der Fläche, s ist zugleich die Zahl der 

 parallelen Tangenten derjenigen Curve, deren Evolute die gege- 

 bene geodätische Curve ist. 



Die Ordnung der erzeugten Minimalfläche bestimmt man 

 nach den allgemeinen Regeln, die ich bei einer anderer Ge- 

 legenheit gegeben habe. Hier bemerke ich nur, dass diese 

 Zahl nie grösser als 



') Wir bescliräncken uns hier auf den Fall, dass diese Developpable nicht 

 zerfällt. Der zweite Fall Hesse sich ganz ebenso erledigen. In diesem Falle 

 ist die obenstehende Formel für die Classe der erzeugten Minimalfläche 

 mit 2 zu dividiren 



