230 Sophus Lie. 



woraus durch Berücksichtigung von (3) folgt 

 do! = Z2 dY — 3/2 ^^ 

 dy = Xo dZ — z^ dJC 

 dz = 3/2 dX — æ^ dY. 



Man findet 



Æ?2 doß + 3/2 dy + Z2 dz = 



und indem man zugleich (5) berücksichtigt 



y 2^2 1., 1^2-^2 



Yz r^ \ ZX 



^y-l^l^-0. 



Die beiden letzten Gleichungen geben 



dx dy dz ds 

 'X^ Y^'Z^ T' 



wo s die Bogenlänge der Raumcurve æ y z bezeichnet. Be- 

 zeichnen wir daher die Differential-Quotienten von æ y z hin 

 sichtlich s mit æ' y' z', so kommt 



X-æ', Y- y', Z^z'. 



Die voranstehenden Formeln erlauben die Grössen Xj y^ z^ 

 x^y^.^'i durch xyz x' y' z' x" y'^ z" auszudrücken. Ich setze 



11^=-- x^-^ix.^, V^^^y^+iy^, W^^z^+iz.^ 



und erhalte hierdurch, wie man leicht verificirt, die folgenden 

 complexen Gleichungen 



(7) (Z7, - xf + (F, -2/)^ + (TT, - zY = 



(8) {U, - X) x' + iV, -y)y' ^(W,-z)z' = 



x'dU^+y'dV^+z'dW^= 0. 



Differentiirt man die nächstletzte und berücksichtigt dabei die 

 letzte Gleichung findet mnn 



(9) (U^—x)x" + {V^—y)y" + (W^-z)z"- 1 = 0. 



Jetzt geben die Gleichungen (7) (8) (9) 



